数学的解法与技巧
1、（三）、函数的值域与最值
2、（3）若奇函数f(x)在x=0处有意义，则f(0)=0成立.
3、①求证：f(0)=1;
4、以n=10为例，10＝4×2＋2，这时k=2
5、（4）若已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还出现其他未知量（如f(－x)，等），必须根据已知等式，再构造其他等式组成方程组，利用解方程组法求出f(x)的表达式.
6、寻找实践应用：将数学与实际问题相结合，寻找数学在生活和实践中的应用，有助于增强学习的兴趣和动力，加深对数学概念的理解。
7、（5）若f(x)的定义域关于原点对称，则F(x)=f(x)＋f(－x)是偶函数，G(x)=f(x)－f(－x)是奇函数.
8、理解问题表达：数学问题有时会在语言表达上有难度，因此理解问题的关键信息是解题的重要一步。细读问题陈述，提取关键信息，并转化为数学表达式或图形。
9、241815
10、（8）数形结合法求函数的值域：利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法或图象，求出函数的值域，即以数形结合求函数的值域.
11、函数及其定义域是不可分割的整体，没有定义域的函数是不存在的，因此，要正确地写出函数的解析式，必须是在求出变量间的对应法则的同时，求出函数的定义域.求函数的定义域一般有三种类型：
12、50515253545556
13、两边应用中的结论，得f(x＋2c)=－f(x＋c)=－[－f(x)]=f(x)，
14、求函数的解析式一般有四种情况
15、十字相乘法。
16、y=f(x)±b（b>0）
17、（1）有时一个函数来自于一个实际问题，这时自变量x有实际意义，求定义域要结合实际意义考虑；
18、上不动、下沿x轴翻折
19、（1）依定义进行证明.其步骤为：①任取x1、x2∈M且x1
20、在用待定系数法求二次函数的解析式时，运用上面的知识，恰当选择设立解析式，可以开发解题智慧，节省解题力量，提高解题的速度和准确性，达到事半功倍的效果，现举例如下：
21、应注意，一个函数的解析式由几部分组成时，定义域为各部分有意义的自变量取值的公共部分（即交集）.
22、14151
23、+k,(h,k)为顶点坐标。
24、在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知函数的单调性。因此，掌握并熟记一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性，将大大缩短我们的判断过程.
25、所以，所以f(x＋c)=－f(x)．
26、单偶数阶幻方（象限对称交换法）
27、对于函数f(x)定义在某区间[a，b]上任意两点x1，x2，当x1>x2时，都有不等式f(x1)>（或<）f(x2)成立，称f(x)在[a，b]上单调递增（或递减）；增函数或减函数统称为单调函数.
28、右不动、左右关于y轴对称
29、奇数阶幻方最经典的填法是罗伯法。填写的方法是：
30、（四）、函数的奇偶性
数学的解法与技巧
31、④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；
32、综合运用：将数学知识与实际生活联系起来，提高学生的兴趣和学习积极性。
33、（3）反函数法：利用函数f(x)与其反函数f－1(x)的定义域和值域间的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域，形如（a≠0）的函数值域可采用此法求得.
34、证明函数的单调性的方法
35、首先，数独的基本操作是填空，也就是找出每个单元格中的数字。
36、（6）判别式法：把y=f(x)变形为关于x的一元二次方程，利用“△≥0”求值域.其题型特征是解析式中含有根式或分式.
37、对于较难的数独，我们需要采用试错法，即尝试填入数字，如果填错了就回溯重新填写，直到填完所有数字。
38、①分式的分母不得为零；
39、在[a、b]上是减函数.
40、（2）有时题设给出函数特征，求函数的解析式，可采用待定系数法.比如函数是一次函数，可设f(x)=ax＋b（a≠0），其中a，b为待定系数，根据题设条件，列出方程组，求出a，b即可.
41、内外四个角对角上互补的数相易，（方阵分为两个正方形，外大内小，然后把大正方形的四个对角上的数字对换，小正方形四个对角上的数字对换）即（1，16）（4，13）互换（6，11）（7，10）互换即可。
42、多做练习：数学是一门需要实践的学科，通过大量的练习可以巩固知识并培养解题的技巧。选取适合自己水平和难度的练习题，通过反复练习来加深理解和记忆。
43、（4）配方法：对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题可考虑用配方法.
44、注意如下结论的运用：
45、18192021222324
46、47462021434224
47、对于函数的概念，应注意如下几点：
48、（六）、函数的图象
49、除此之外，数独还有很多高级玩法和解法技巧，比如X-Wing、Swordfish等。
50、由f(x)的图象需经过的变换
51、n阶幻方就是在n×n的方格中填上n^2（n的平方）个数，行、列和对角线的和值相等为完美幻方，行、列和值相等为不完美幻方。这一和值叫幻和值。
52、34352928383925
53、打好数学逻辑基础：数学具有严密的逻辑性，学习数学需要培养良好的逻辑思维能力。通过学习推理和证明的方法，加深对数学的理解和应用。
54、（3）奇偶函数的复合函数的奇偶性通常是偶函数；
55、下面是6阶幻方的填法：6＝4×1＋2，这时k＝1
56、（1）直接法：亦称观察法，对于结构较为简单的函数，可由函数的解析式应用不等式的性质，直接观察得出函数的值域.
57、（1）根据某实际问题需建立一种函数关系时，必须引入合适的变量，根据数学的有关知识寻求函数的解析式.
58、多了解孩子的数学基础：了解孩子是否对基础知识掌握不牢固，是否存在概念理解不清楚等问题，针对性地进行辅导。
59、解函数的方法
60、最重要的是，保持积极的学习态度，相信自己的能力，并持之以恒地投入学习。数学学习需要时间和耐心，在坚持下去的过程中，你会逐渐提高自己的数学能力。祝你学业顺利！
数学的解法与技巧
61、y=－f(x)
62、灵活应变：根据学生的不同情况采取不同的教学方法，让每个学生都能学会数学。
63、作关于x轴的对称图形
64、②求证：y=f(x)是偶函数；
65、以8阶幻方为例：
66、（3）将x，y对换，得反函数的习惯表达式y=f－1(x)，并注明定义域.
67、给孩子补数学可以通过以下几种方法：
68、571416
69、作关于y轴对称的图形
70、2313
71、如果f′(x)>0，则f(x)为增函数；如果f′(x)<0，则f(x)为减函数.
72、（7）利用函数的单调性求值域：当能确定函数在其定义域上（或某个定义域的子集上）的单调性，可采用单调性法求出函数的值域.
73、10111213141516
74、(2)每个小方阵对角线上的数字（如左上角小方阵部分），换成和它互补的数。
75、26273736303133
76、（3）若题设给出复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法求函数f(x)的表达式，这时必须求出g(x)的值域，这相当于求函数的定义域.
77、函数y=f(x)对定义域内的任一x都有f(a＋x)=f(a－x)，则y=f(x)的图象关于直线x=a对称，即y=f(a＋x)为偶函数.函数y=f(x)对定义域内的任－x都有f(a＋x)=－f(a－x)，则y=f(x)的图象关于点（a，0）成中心对称图形，即y=f(a＋x)为奇函数.
78、注意①：对于分段函数的反函数，先分别求出在各段上的反函数，然后再合并到一起.
79、实践为王：在教学中要注重实践，让学生通过实际操作来感受数学，学习数学。
80、所谓双偶阶幻方就是当n可以被4整除时的偶阶幻方，即4K阶幻方。在说解法之前我们先说明一个“互补数”定义：就是在n阶幻方中，如果两个数的和等于幻方中最大的数与1的和（即n×n＋1），我们称它们为一对互补数。如在三阶幻方中，每一对和为10的数，是一对互补数；在四阶幻方中，每一对和为17的数，是一对互补数。
81、58596061626364
82、数独是一种逻辑推理的数学游戏，解决数独需要一些技巧。
83、公式法。
84、加减消元法(用于解方程组)
85、（4）若f(x)是具有奇偶性的区间单调函数，则奇（偶）函数在正负对称区间上的单调性是相同（反）的。
86、55541213515016
87、求作图象的函数表达式
88、①在[a、b]上是增函数；
89、因式分解法。
90、②令x=0，则有f(x)＋f(－y)=2f(0)·f(y)=2f(y)，所以f(－y)=f(y)，这说明f(x)为偶函数．
数学的解法与技巧
91、（3）已知一个函数的定义域，求另一个函数的定义域，主要考虑定义域的深刻含义即可.
92、有关奇偶性的几个性质及结论
93、渐进式教学：将知识点分解成小部分，逐步深入讲解，以便让学生逐渐掌握数学知识。
94、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；
95、作关于直线y=x的对称图形
96、幻方法则，是对3阶幻方的排列，找出了一种奇妙的规律：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出，戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足”。
97、②熟悉的应用，求f－1(x0)的值，合理利用这个结论，可以避免求反函数的过程，从而简化运算.
98、（2）已知一个函数的解析式求其定义域，只要使解析式有意义即可.如：
99、横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
100、1219213
101、把1（或最小的数）放在第一行正中；按以下规律排列剩下的(n×n－1)个数：
102、函数的奇偶性的定义：对于函数f(x)，如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(－x)=－f(x)（或f(－x)=f(x)），那么函数f(x)就叫做奇函数（或偶函数）.
103、总的来说，想要成为数独高手，需要不断练习和总结，掌握各种技巧和方法，才能更好地解决复杂的数独题目。
104、（5）不等式法求值域：利用基本不等式a＋b≥[a，b∈（0，＋∞）]可以求某些函数的值域，不过应注意条件“一正二定三相等”有时需用到平方等技巧.
105、双偶数阶幻方（对称交换法）
106、（2）f(x)、g(x)分别是定义域D1、D2上的奇函数，那么在D1∩D2上，f(x)＋g(x)是奇函数，f(x)·g(x)是偶函数，类似地有“奇±奇=奇”“奇×奇=偶”，“偶±偶=偶”“偶×偶=偶”“奇×偶=奇”；
107、求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的，事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值.因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同，因而答题的方式就有所相异.
108、与f(x)的关系
109、另外，在解决数独的过程中，我们可以培养一些好习惯，如多重检查、通过观察找出最小的单元格等。
110、（2）单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的x1，x2具有任意性，不能用特殊值代替.
111、最后，通过试错法来验证解的正确性。掌握这些技巧，可以更高效地解决数独难题。
112、58595462631
113、y=|f(x)|
114、除了以上的技巧，坚持学习、保持耐心和积极态度也是学好数学的重要因素。数学的学习需要长期坚持和不断实践，相信自己的能力，不断克服困难和挑战，就能逐渐提升自己的数学水平。
115、数学是一门需要不断实践和思考的学科，而辅导数学也需要一些有效的方法和技巧。以下是一些建议：
116、y=f(|x|)
117、思路分析：我们把没有给出解析式的函数称之为抽象函数，解决这类问题一般采用赋值法．
118、待定系数法。
119、确定学习目标：在开始任何数学学习之前，明确你想要达到的目标是非常重要的。是为了提高成绩还是为了深入理解数学概念？根据你的目标，制定相应的学习计划。
120、纵坐标伸长到原来的|a|倍，横坐标不变
数学的解法与技巧
121、（一）、映射、函数、反函数
122、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用何种方法求函数值域都应先考虑其定义域，求函数值域常用方法如下：
123、双偶数阶幻方的对称交换解法：
124、解决难度较低的数独，我们使用可能性分析法，即根据已填入数字的规则，利用推理填入其他数字。
125、单调函数
126、耐心引导：耐心引导学生，帮助他们克服困难，掌握数学知识。
127、寻求帮助：如果你遇到困难或有疑问，不要犹豫寻求帮助。可以向老师、同学或数学社区寻求解答和指导。他们可能能够提供不同的视角和解决方法。
128、y=af(x)
129、（6）奇偶性的推广
130、182529
131、例，用该填法获得的5阶幻方：
132、（二）、函数的解析式与定义域
133、解答：①令x=y=0，则有2f(0)=2f2(0)，因为f(0)≠0，所以f(0)=1．
134、15145253111056
135、所以f(x)是周期函数，2c就是它的一个周期．
136、（1）掌握构成函数的三要素，会判断两个函数是否为同一函数.
137、复合函数y=f[g(x)]的单调性
138、②在[a、b]上是增函数.
139、寻找合适的学习资源和工具：利用好课本、参考书、视频教程等学习资源，选择适合自己的学习方法和工具。利用互联网上的数学学习平台和在线交流社区，与其他学习者共同学习和讨论。
140、（1）确定原函数的值域，也就是反函数的定义域；
141、正确理解奇函数和偶函数的定义，要注意两点：（1）定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要不充分条件；（2）f(x)=－f(x)或f(－x)=f(x)是定义域上的恒等式.（奇偶性是函数定义域上的整体性质）.
142、③分别用（c＞0）替换x、y，有f(x＋c)＋f(x)=
143、③若存在常数c，使求证对任意x∈R，有f(x＋c)=－f(x)成立；试问函数f(x)是不是周期函数，如果是，找出它的一个周期；如果不是，请说明理由．
144、（4）奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数。
145、广义交点式：二次函数的图象具有轴对称性，由此我们可知：二次函数图象上两点（x1,y1）、（x2,y2）,若y1=y2=t,则对称轴为:x=，此时，解析式可写为：y=a(x-x1)(x-x2)+t,这是交点式的推广。
146、运用多种教学方法：可以通过教辅书、电子教学资源、视频讲解等多种途径向孩子传授数学知识，丰富孩子的学习方式，提高学习兴趣。
147、42434445464748
148、先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：
149、沿x轴向平移a个单位
150、学好数学需要掌握一定的学习技巧和方法。以下是六种学好数学的技巧：
数学的解法与技巧
151、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；
152、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；
153、101112
154、函数的图象是函数的直观体现，应加强对作图、识图、用图能力的培养，培养用数形结合的思想方法解决问题的意识.
155、交点式：当△=b2-4ac≥0时，设方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，则二次函数的解析式可写为y=a(x-x1)(x-x2),点（x1,0）,(x2,0)是二次函数的图象与x轴的交点。
156、函数的最值的应用主要体现在用函数知识求解实际问题上，从文字表述上常常表现为“工程造价最低”，“利润最大”或“面积（体积）最大（最小）”等诸多现实问题上，求解时要特别关注实际意义对自变量的制约，以便能正确求得最值.
157、②偶次方根的被开方数不小于零；
158、求函数的最值与值域的区别和联系
159、⑤三角函数中的正切函数y=tanx（x∈R，且k∈Z），余切函数y=cotx（x∈R，x≠kπ，k∈Z）等.
160、配方法。
161、7612
162、y=f(－x)
163、141516
164、理解思路与解法：数学不只是死记硬背公式和计算，更重要的是理解问题的解决思路和解法。学习时应注重理解问题的本质，探索不同的解题思路和方法，并举一反三。
165、（3）在B象限任一行的中间格，自右向左，标出k-1列。(注：6阶幻方由于k-1=0，所以不用再作B、D象限的数据交换)，将B象限标出的这些数，和D象限相对位置上的数进行交换，就形成幻方。
166、（3）如果y=f(u)，u=g(x)，那么y=f[g(x)]叫做f和g的复合函数，其中g(x)为内函数，f(u)为外函数.
167、掌握解题技巧：解题技巧是数学学习的核心。学习并理解不同类型的问题解法，包括公式的运用、图形的分析、代数的运算等。多练习，尝试不同的方法和策略来解决问题。
168、（4）注意定义的两种等价形式：
169、函数的最值在实际问题中的应用
170、对应、映射、函数三个概念既有共性又有区别，映射是一种特殊的对应，而函数又是一种特殊的映射.
171、沿y轴向平移b个单位
172、如果这个数所要放的格已经有数填入，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内。
173、多做练习题：数学是一门需要不断练习的学科。多做相关题目可以帮助你巩固学习内容、培养思维方式，并提高解决问题的能力。从基础题目开始，逐渐挑战难度更高的题目。
174、已知f(x)的定义域是[a，b]，求f[g(x)]的定义域是指满足a≤g(x)≤b的x的取值范围，而已知f[g(x)]的定义域[a，b]指的是x∈[a，b]，此时f(x)的定义域，即g(x)的值域.
175、y=f－1(x)
176、（1）不论f(x)是奇函数还是偶函数，f(|x|)总是偶函数；
177、11108
178、（1）单调性是与“区间”紧密相关的概念.一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性.
179、奇数阶幻方（罗伯法）
180、对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。写好后，按4×4把它划分成k×k个方阵。因为n是4的倍数，一定能用4×4的小方阵分割。然后把每个小方阵的对角线，象制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。
数学的解法与技巧
181、如函数的值域是（0，16]，最大值是16，无最小值.再如函数的值域是（－∞，－2]∪[2，＋∞），但此函数无最大值和最小值，只有在改变函数定义域后，如x>0时，函数的最小值为2.可见定义域对函数的值域或最值的影响.
182、每一个数放在前一个数的右上一格；
183、设x1、x2∈[a，b]，那么：
184、【例】定义在实数集上的函数f(x)，对任意x，y∈R，有f(x＋y)＋f(x－y)=2f(x)·f(y)，且f(0)≠0．
185、2345678
186、制定学习计划：为孩子定制一个科学合理的学习计划，将课程内容进行分解，每天都安排一些适量的练习以及复习，确保孩子能有系统地掌握知识。
187、（2）如要函数的定义域关于原点对称且函数值恒为零，那么它既是奇函数又是偶函数.
188、2361606757
189、（2）在A象限的中间行、中间格开始，按自左向右的方向，标出k格。A象限的其它行则标出最左边的k格。将这些格，和C象限相对位置上的数，互换位置。
190、（2）设函数y=f(x)在某区间内可导.
191、(线性)行列式法。
192、需要指出的是：①的几何意义是：增（减）函数图象上任意两点（x1，f(x1)）、（x2，f(x2)）连线的斜率都大于（或小于）零.
193、(1)先把数字按顺序填。然后，按4×4把它分割成4块（如图）
194、简单的高次方程用因式分解法化为一元一次方程来解。一元二次方程还可以用求根公式以及配方法来解。可解的多元高次的方程一般都有公式可循。在解析几何里，用图像法解方程。
195、（五）、函数的单调性
196、（2）掌握三种表示法——列表法、解析法、图象法，能根实际问题寻求变量间的函数关系式，特别是会求分段函数的解析式.
197、对于函数单调性的定义的理解，要注意以下三点：
198、初等方程的解法有化简变形方法如一元一次方程，分式方程，根式方程。依据是根据等式性质，以及运算性质。
199、（2）换元法：运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一种简单函数再求值域，若函数解析式中含有根式，当根式里一次式时用代数换元，当根式里是二次式时，用三角换元.
200、合理利用工具：在计算过程中，合理利用计算器、几何仪器和计算软件等工具可以提高效率和精度。但要谨记，工具只是辅助，仍需理解数学原理和过程。
201、（5）由于定义都是充要性命题，因此由f(x)是增（减）函数，且（或x1>x2），这说明单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系可以“正逆互推”.
202、26272829303132
203、y=f(ax)（a>0）
204、（1）一个函数为奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数为偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称.
205、y=f(x±a)（a>0）
206、（2）由y=f(x)的解析式求出x=f－1(y)；
207、数学解方程有以下几八种方法:
208、直接开平方法(用于最简单的一元二次方程)
209、奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据。为了便于判断函数的奇偶性，有时需要将函数化简或应用定义的等价形式：
210、③对数函数的真数必须大于零；
数学的解法与技巧
211、代入消元法(一般用于方程组)
212、34353637383940
213、（3）单调区间是定义域的子集，讨论单调性必须在定义域范围内.
214、6132022
215、首先，找出已经确定的数字，然后使用排除法确定每个格子的可能数字。
216、建立坚实的基础：数学是一个渐进性的学科，建立坚实的基础知识对后续学习非常重要。确保掌握好基本的数学概念、运算规则和公式等。
217、接下来，通过唯一候选数法、唯余数法和区块划分法来进一步缩小可能性。同时，利用候选数的唯一性和数字的排列组合来填充格子。此外，观察行、列和宫的限制条件，找出唯一解。
218、求函数y=f(x)的反函数的一般步骤：
219、（1）把方阵分为A，B，C，D四个象限，这样每一个象限肯定是奇数阶。用罗伯法，依次在A象限，D象限，B象限，C象限按奇数阶幻方的填法填数。
220、23224445191848
221、若u=g(x)在区间[a，b]上的单调性，与y=f(u)在[g(a)，g(b)]（或g(b)，g(a)）上的单调性相同，则复合函数y=f[g(x)]在[a，b]上单调递增；否则，单调递减.简称“同增、异减”.
222、理解基本概念：数学是建立在基本概念的基础上的。确保你对基本概念有清晰的理解，并能够熟练运用它们。如果你发现有困难的概念，及时寻求帮助或咨询老师。
223、因式分解法(用于特殊的一元二次方程。含十字相乘法)